Incertezza, errore assoluto, campo di variabilità, errore relativo ed errore relativo percentuale

A differenza della matematica, in fisica ogni numero che rappresenta una misura dovrebbe essere  associato ad un'incertezza.
Infatti, per quanto possa disporre di strumenti accurati e di una notevole abilità, ogni misurazione non sarà mai infinitamente precisa ma risentirà di alcuni "disturbi" di vario genere che faranno sì che io ottenga non la misura corretta ma una misura in parte errata.
Se per esempio misuro la lunghezza di un tavolo con un righello di \(20~cm\) dovrò ricordarmi che
- il righello non sarà perfettamente lungo \(20~cm\) per imprecisione di fabbrica
- la mia mano non sarà mai perfettamente precisa per posizionare il righello all'inizio del tavolo
- il mio occhio non potrà vedere perfettamente quanta parte di una certa tacca del righello viene occupato dal tavolo
- se devo riportare il righello più volte perchè il tavolo è più lungo di \(20~cm\), le volte successive non riuscirò a mettere il righello perfettamente dove era terminata la misura precedente
- altri fattori
Insomma la parola "perfettamente" mal si adatta al grado di comprensione della  realtà che abbiamo. E' vero infatti che il metodo scientifico tenta di darci una certa "sicurezza" sulla nostre conoscenze, ma è anche vero che, in ogni caso, siamo limitati anche dagli aspetti meramente pratici di analisi e misurazione della realtà. In questo senso si aprirebbero anche spunti di riflessione molto profondi su questo tema:
- può esistere un processo di misura infinitamente preciso?
- esiste una misura infinitamente precisa di un oggetto, anche se non sono capace di trovarla?
Queste riflessioni, tuttavia,  esulano alquanto dalla riflessione fisica in senso stretto e appartengono oggi più che altro alla sfera filosofica.

Torniamo quindi alla misura del tavolo. Supponiamo che la misura "vera" del tavolo sia \(L_{VERA}= 1,25143573543~m\)
Quando io vado a misurarlo con un righello che ha le tacche sui millimetri otterrò qualcosa del tipo \(L_{MISURATA} = 1,251~m\)
Per esprimere un dato fisico completo devo però dare insieme a questa misura anche un'indicazione dell'incertezza associata a questa misura. Se per esempio il mio righello ha, come detto, le tacche distanti un millimetro posso ritenere che la mia accuratezza nella misura non potrà essere inferiore al millimetro  e quindi di fatto io posso solo garantire che il valore cercato sarà compreso tra 1,2505 e 1,2515 ma non posso sapere per esempio se il valore è 1,250876 oppure 1,251342 perchè il mio righello non è sufficientemente accurato. Per esprimere la mia incertezza scriverò quindi la misura con associato il cosiddetto "errore assoluto di misura" $$L_{MISURATA} = 1,251~m \pm 0,0005~m$$ Il simbolo \(\pm\) si legge, come è intuitivo, come "più o meno" e definisce l'errore come ampiezza dell'incertezza della misura effettuata. La misura scritta corrisponde quindi a un valor vero che al minimo vale

$$1,251~m - 0,0005~m = 1,2505~m$$
e al massimo vale
$$1,251~m + 0,0005~m = 1,2515~m$$
Quindi se per esempio scrivo per la misurazione del tempo
$$T = 2,75~s \pm 0,05~s$$
sto intendendo che garantisco che il valore cercato sia compreso tra 2,7~s e 2,8~s. Questo intervallo si chiama "campo di variabilità" o anche "intervallo di  indeterminazione" della misura. Ogni misura in fisica dovrebbe essere accompagnata dall'indicazione di tale intervallo tramite, per esempio, l'errore di misura. Vedremo comunque in seguito che questa "garanzia sul valor vero" non è certa: dopotutto, non posso essere completamente sicuro che il valor vero sia davvero dove ritengo in quanto l'errore per sua natura è un'"incertezza"...

Tentiamo ora di dare un modo di valutare la grandezza di un errore di misura, ovvero di stimare se si tratta di una cosa "grave" oppure no. Per capire se un errore di misura è grave oppure se è di scarsa importanza occorre vedere l'uso che dovrò fare della mia misura. Se devo prendere una medicina è opportuno che le dosi siano precise per evitare disturbi collaterali, se sto preparando un ciambellone posso tollerare di più di "sbagliare" le quantità degli ingredienti.
In generale, per stimare la gravità di un errore conviene però utilizzare il cosiddetto "errore relativo di misura" ovvero l'errore di misura diviso per la misura stessa. Se infatti, nel misurare la lunghezza di campo da calcio si ha un'incertezza (errore  assoluto) di 1~cm non è probabilmente molto grave ma se commetto lo stesso errore nel misurare un mattone da costruzione di 10~cm è chiaro che l'errore sarà molto più pericoloso. Si utilizza quindi
$$E_{RELATIVO} = \frac{E_{ASSOLUTO}}{MISURA}$$
Nei casi visti quindi
$$L_{CAMPO-DA-CALCIO} = 110~m \pm 1~cm$$
$$E_{CAMPO-DA-CALCIO} = 1~cm$$
$$E_{RELATVO, CAMPO-DA-CALCIO} = \frac{1~cm}{110~m} = 0,000091$$
$$L_{CELLULARE} = 10~m \pm 1~cm$$
$$E_{CELLULARE} = 1~cm$$
$$E_{RELATVO, CELLULARE} = \frac{1~cm}{10~cm} = 0,1$$
L'errore relativo non ha unità di misura perchè deriva dal rapporto tra due grandezze
che hanno la stessa unità di misura (che quindi nel rapporto si semplifica). Si parla quindi di grandezza "adimensionale". Abbiamo detto che in fisica ogni grandezza deve essere associata ad un riferimento, e cioè ad una unità di misura. In realtà, questo è vero eccettuate però le cosiddette grandezze adimensionali come ad esempio l'errore relativo. Riguardo a quest'ultimo, attenzione inoltre a cambiare unità di misura prima di eseguire il rapporto altrimenti il risultato sarà errato.
Oltre all'errore relativo si utilizza spesso l'errore relativo percentuale definito semplicemente come
$$E_{R}^\% = E_{R} \cdot 100$$
che dà visivamente un'indicazione immediata della percentuale dell'errore sulla misura. Quindi:
$$E_{RELATVO, CAMPO-DA-CALCIO} =  0,009~\%$$
$$E_{RELATVO, CELLULARE} =  10~\%$$
Nel secondo caso un errore del 10% è un errore piuttosto elevato in una misura, mentre nel primo caso l'errore è ridotto.