Divisione tra polinomi

Tra le 4 operazioni aritmetiche fondamentali (+, -, *, /) la divisione è sicuramente complessa, tricky per usare un termine anglosassone.Anzitutto per la grafia, visto che tanti simboli diversi sono usati per indicare una divisione tra due numeri. Se devo indicare la divisione tra 17 e 5 la posso indicare come17:517/5\(\frac{17}{5}\)Io raccomando vivamente si non usare la prima notazione, anche se è quella che nelle scuole elementari viene maggiormente propagandata. I due punti ricordano più che altro una punteggiatura di separazione linguistica, oppure un intervallo di valori, usarli per la divisione è sicuramente corretto ma, a mio avviso, sempre per dirla con un termine inglese rischia di diventare misleading, cioè che esponde a equivoci. Tra le seconda e la terza notazione, la seconda è più comoda da usare in mezzo al testo perchè è alta quanto una riga normale. La terza però è in generale sicuramente la più chiara quando invece dei numeri considero espressione aritmetiche o letterali e soprattutto quando devo considerare diverse divisioni allinterno di altre divisioni. Ma andiamo con ordine. Quando indico la divisione tra 17 e 5 come fatto sopra, 17 prende il nome di dividendo, 5 quello di divisore. Come ricordare questi termini (senza scambiarli)? Basta ricordare che dividendo significa da dividere, mentre divisore inidica colui che opera la divisione come si trattasse di un coltello a 5 lame (in realtà 4 perchè con un taglio si fanno già due fette) che opera la divisione su 17 parti di una torta.Quale è il risultato di una divisione? Come nozione fondamentale il risultato di una divisione è quel numero che è moltiplicato per il divisore mi ridà il dividendo. Ma putroppo la risposta, a volte, non è univoca perchè il risultato può essere posto in due forme diverse.Quando si divide un numero per un suo sottomultiplo, per esempio, 16 diviso per 8 la risposta è univocamente 2. Se però consideriamo due numeri non divisibli tra di loro, per esempio 17 e 5 esistono due risposte che si possono dare come risultato della divisione.Il risultato è 3.4. Si può verificare in effetti che risultato \(\cdot\) divisore=dividendo. Infatti:$$3.4 \cdot 5=17$$I risultato è il quoziente 3 con il resto di 2: questa risposta ha significato soltanto se i numeri di partenza — dividendo e divisore — sono interi. In tal caso, infatti, può essere un vantaggio avere anche come risultato numeri interi. Il grande svantaggio è però che il risultato non è un numero ma una coppia di numeri, detti quoziente e resto. Per capire il significato di questi numeri si può pensare alla solita torta fatta di 17 fette che 5 persone (molto ingorde) desiderano spartirsi in parti uguali. E chiaro che non è possibile dare a ciascuno lo stesso numero di fette. A ciascuno spetteranno 3 fette e poi 2 fette andranno in qualche modo spezzate per darne una stessa parte a ognuno dei 5. Se questo spezzamento finale vuole essere evitate posso dire che il risultato della divisione è semplicemente 3 (sottointeso come quoziente) con il resto di 2. Quale è la verifica che il risultato ottenuto è corretto? Riflettendoci un attimo si vede che deve valere la seguente relazione17 = 5 \(\cdot\) 3 + 2ovvero in generaledividendo = divisore\(\cdot\)quoziente + restoMa la precedente relazione è valida anche scrivendo per esempio17 = 5 \(\cdot\) 2 + 7ma 2 e 7 non sono il quoziente e il resto! Attenzione: la verifica di questa relazione non significa che ho trovato correttamente quoziente e resto. Devo anche verificare che il resto sia più piccolo del divisore. Il motivo è semplice: se il resto fosse più grande del divisore si avrebbe ancora la possibilità di dividerlo e quindi andrebbe ad accrescere il quoziente. Il resto poi deve anche essere maggiore o uguale a zero, perchè un resto negativo non ha alcun senso. Quindi laltra relazione da verificare è\(0 \le resto divisore\)Abbiamo visto come verificare che il risultato di una divisione può essere fornito in due modi diversi, dei quali il primo è sempre possibile, mentre il secondo (quoziente e resto) ha senso soltanto nel caso in cui sia il dividendo che il divisore siano numeri interi. Dobbiamo ora capire come si trovino questi risultati. Poichè al giorno doggi qualunque apparato elettronico ci mette a disposizione un calcolo di una divisione grazie a un semplice click, ci si potrebbe aspettare che il calcolo manuale sia ormai inutile. In realtà, almeno a livello didattico, il calcolo manuale della divisione tra numeri ha un percordo assolutamente simile a quello tra polinomi e per questo motivo è bene riprenderlo e possibilmente ricomprenderlo. Tra le due divisioni viste quella tra polinomi è più simile alla seconda tipologia, quindi ci focalizziamo nel- Se il divisore è più grande del dividendo, allora la soluzione è banale: quoziente 0 e resto pari al dividendo.- Altrimenti, prendo tante cifre del dividendo pari a quelle del divisore, partendo da sinistra, finchè queste cifre non formano un numero più grande del divisore ed eseguo la divisione tra questo numero e il divisore interessandomi solo del quoziente. In questo caso occore prendere 3 cifre del dividendo, formando 172 che diviso per 32 dà come quoziente 5 (infatti \(5\cdot 32 =160172\ mentre \(6\cdot 32 =192172 ). Scrivo quindi 5 sotto il divisore, e questo costituisce linizio del risultato come quoziente.- Molitplico questo inizio di quoziente per il divisore ottenendo 160 che vado a scrivere sotto le 3 cifre di dividendo che ho usato in precedenza e aggiungendo zeri a destra di 160 fino a raggiungere il numero di cifre del dividendo 1725, quindi in questo caso uno zero soltanto.- Procedo quindi alla sottrazione tra il dividendo e il numero posto sotto. Ottengo 25. Poichè 2532 allora il lavoro è concluso. 5 sarà il quoziente mentre 25 è il resto. Se invece 25 fosse stato più grande del divisore avrei dovuto continuare prendendo 25 come nuovo dividendo e operando come prima aggiungendo cifre al quoziente man mano, e alla fine terminando quando il possibile resto a sinistra è effettivamente minore del divisore. Alla fine è possibile verificare come al solito lidentità di controllo che in questo caso è \(1725 = 50\cdot 32+25\)1725 | 321600 | 50 25 |Comprendere la divisione tra numeri è un ottimo punto di partenza per comprendere quella tra polinomi perchè il procedimento è molto simile. Consideriamo ad esempio la divisione$$\frac{2-3x^3}{4x^2+1} =$$Il procedimento per effettuare la divisione è il seguente:- ordinare con potenze descrescenti dividendo e divisore (che avendo scritto nella forma frazionaria possiamo anche chiamare semplicemente numeratore e denominatore) e scriverle in uno schema analogo a quello usato per i numeri, facendo attenzione a lasciare spazi bianchi quando si scrive il numeratore, per tutti i gradi mancanti:$$-3x^3 ____ ____ +2 | 4x^2 + 2$$A questo punto svolgo la divisione tra i gradi massimi di numeratore e denominatore. In questo caso$$\frac{-3x^3}{4x^2} = -\frac{3}{4} x$$Essendo due monomi in x è possibile semplificare la parte letterale ottenendo come risultato un nuovo monomio in x. Riporto il risultato sotto il divisore e quindi moltiplico questo monomio per il divosre stesso e scrivo il risultato sotto il dividendo rispettando le colonne secondo i gradi delle potenze presenti.$$-3x^3 ____ ____ +2 | 4x^2 + 2-3x^3 ____ -\frac{3}{2}x ____ | – \frac{3}{4}x$$Sottraggo quindi il polinomio scritto sotto il dividendo al dividendo stesso. Se non ho commesso errori la potenza più alta (in questo caso il cubo) andrà a cancellarsi.$$-3x^3 ____ ____ +2 | 4x^2 + 2-3x^3 _____ -\frac{3}{2}x ____ | – \frac{3}{4}x____ _____ \frac{3}{2}x + 2$$Divisione tra polinomiVerificaRuffiniFrazioni multipiano