Monomi e polinomi

Monomi e polinomi sono matematici per entità in sè piuttosto semplici. Tuttavia definrli e saperli usare correttamente rientra in un livello di astrazione non banale e relativamente nuovo (pochi secoli fa). Proprio un controllo corretto del livello di astrazione permette di risolvere con una certa facilità problemi che altrimenti sarebbero molto complessi.Il monomio è il prodotto tra una parte numerica e una parte letterale. La parte numerica può essere un numero reale qualunque (positivo, negativo, periodico, frazionnario, …). La parte letterale è invece il prodotto tra potenze intere non negative di indeterminate cioè diciamo lettere. Richiedere potenze intere non negative fa sì che si possano usare i monomi in un modo molto comodo che vedremo dopo, allo stesso tempo ovviamente restringe la definizione di monomio. Per capire quindi con esempi diamo i seguenti:$$0.3 x \quad ; \quad -3y^2 \quad ; \quad \frac{5}{2} x y^2 ; \quad \frac{5}{2y} xz \quad ; \quad -2x+7y$$Di questi i primi tre sono monomi, mentre gli ultimi due non lo sono. Il penultimo perchè la \(y\) compare al denominatore e quindi ad esponente negativo. Lultimo perchè contiene una somma, cosa non permessa in un monomio.Come introdotto, le lettere della parte letterale si dicono anche indeterminate. Esse corrispondono concettualmente a numeri indicati in modo generico. Se poi si tratti di parametri, incongnite, … dipende dal contesto in cui il monomio viene usato. Qualora unindeterminata risulti in un certo momento nota, è possibile valutare il monomio. Per esempio il monomio \(-2x^2z\) di sopra valutato per \(x=2\) e \(z=3\) vale -24. Un numero può essere considerato un monomio in cui la parte letterale di fatto manca.Un concetto fondamentale è quello di monomi simili. Due monomi si dicono simili se hanno la medesima parte letterale. Per esempio \(3a^2b\) è simile a \(\frac{2}{3}a^2b\), ed entrambi sono anche simili a \(2aba\) perchè anche se scritto diversamente anche quiestultimo monomio ha la stessa parte letterale dei precedenti. Limportanza dei monomi simili si comprende quanto consideriamo le operazioni tra monomi, come spiegheremo immediatamente.Un altro concetto fondamentale è quello di grado di un monomio. Si dice grado di un monomio la somma dei gradi di tutte le indeterminate presenti nella parte letterale. Per esempio \(-3x^3a^2b^4c\) ha grado parti a \(3+2+4+1=10\). Il significato di una simile definizione sarà più chiara durante luso dei monomi che vedremo in seguito.Proviamo a considerare le operazioni tra monomi. Risulta abbastanza ragionevole quanto detto di seguito:- la somma/differenza tra due monomi porta in generale al cosiddetto binomio, cioè la somma algebrica di due monomi. Per esempio, sommando al monomio \(4x^3\) il monomio \(3xz^2\) si ottiene il binomio \(4x^3+3xz^2\). Qualora però si sommino (o sottraggano) monomi simili, il risultato sarà anchesso un monomio. Se infatti proviamo a sommare \(4xz^2\) con \(-2xz^2\) il risultato sarà \(4xz^2-2xz^2 = 3xz^2\), in quanto la parte letterale si può mettere in evidenza e le parti numeriche possono essere sommate tra loro.- il prodotto di due monomi è sempre un monomio. Infatti basta moltiplicare tra loro le parte numeriche per avere la parte numerica del prodtto e lo stesso per le parti letterali. Ad esempio:$$(4a^3b^2c) \cdot (-3xa^2c^3) = -12 a^5b^2c^4$$Il grado del prodotto dei monomi è pari alla somma dei gradi, questo deriva direttamente dallle proprietà della potenza.- la divisione (o semplicemente rapporto) tra due monomi dà in generale un oggetto che non è un monomio ma è detto frazione algebrica. Ad esempio:$$\frac{4a^3b^2c}{-3xa^2c^3}= -\frac{4ab^2}{3c^2x}$$La presenza di parte letterale al denominatore rende il risultato non un monomio (in pratica si tratterebbe di esponenti negativi). In alcuni casi però il rapporto tra monomi è ancora un monomio. Ciò accade quando la parte letterale al denominatore si semplifica completamente con quella al numeratore. Ad esempio$$\frac{2a^3b^2}{a^2b}= 2ab$$- da ultimio consideriamo la potenza di un monomio anche se non presenta aspetti particolari, se non ricordare la proprietà della potenze$$(4x^2y)^3=64x^6y^2$$Passiamo quindi ai polinomi. Il polinomio è una somma algebrica tra monomi. Binomio, se ha due termini, trinomio se ha tre termini. Ad esempio un trinomio è \(3x^3y+za-\frac{2}{3}x^3\)Il grado di un polinomio è il massimo dei gradi dei monomi componenti. Nel trinomio appena visto ad esempio il grado è 4, perchè è il grado più altro tra i tre monomi presenti.Un polinomio si dice completo se ha tra i suoi monomi tutti i gradi dallo zero al grado del polinomio (che è il massimo tra i gradi dei monomi). Ad esempio tra i polinomi:$$ 3x^2+5y^3-c+3$$$$ x^3-0.2y^2+3$$il primo ha grado 3 ed è completo perchè ha monomi di gradi 0, 1, 2 e 3. Il secondo ha sempre grado 3 ma è incompleto perchè manca del grado 1.Un polinomio si può scrivere in modo ordinato secondo i gradi dei monomi componenti, in modo crescente oppure descrescente. Un caso notevole è quello di polinomio con una sola indeterminata. In questo caso scrivere un polinomio ordinata intende di solito esprimere un ordinamento decrescente. Ad esempio$$-3x^3-0.7x+3$$è ordinato (annche se non completo). Quando si scrivere un polinomio si può ridurre al minimo i suoi termini operando le somme tra monomi simili. Ad esempio, riduciamo il seguente polinomio sommando i suoi monomi simili.$$3x^2z-x^3-2x^2z+x-1+7x = x^2z-x^3+8x-1$$Passimo quindi alle operazioni tra polinomi- La somma non presenta alcun problema. Vale quanto detto per i monomi e quanto aggiunto qui sopra- Il prodotto si svolge mettendo tutte le combinazioni possibili tra i prodotti dei monomi. Spieghiamoci meglio. Se si ha il prodotto tra due binomi devo fare il prodotto tra il primo monomio del primo per il primo monomio del secondo, sommato al prodotto tra primo monomio del primo e secondo binomio del secondo, poi secondo monomio del primo per primo monomio del secondo e infine prodotto tra secondo monomio del primo e secondo del secondo. Provare a verificare nel seguente caso.$$(x-3)(2z-4x^2z) = 2xz-4x^3z-6z+12x^2z$$- La divisione presenta più di qualche difficoltà e verrà tratta in un paragrafo a parte- La potenza si può eseguire manualmente con i prodotti se è intera. Ad esempio$$(2x+1)^4=(2x+1)(2x+1)(2x+1)(2x+1)$$si può poi svolgere facendo i prodotti uno alla volta.La potenza non intera si deve lasciare cosi come è.. Altro non si può fare. Ad esempio$$(3z^2a-y^2)^{\frac{2}{3}}$$