Prodotti notevoli

Quello che va capito al principio sui prodotti notevoli è anzitutto che essi non sono necessari per andare avanti. Si tratta semplicemente di regole che semplificano lalgebra mentre si elaborano espressioni letterali o anche numeriche. Il fatto che non siano strettamente necessari, e cioè che si potrebbe tranquillamente andare avanti con lesposizione senza citarli, non significa che vadano trascurati, tuttaltro, sono molto educativi. Ma, sia ben chiaro, sono soltanto metodi abbreviati di calcolo, e in effetti con alcuni di essi si può stupire qualche conoscente facendo calcoli a mente che sembrano complicati ma che, conoscendo i prodotti notevoli si fanno in poche frazioni si secondo.Supponiamo di dover espandere la seguente espressione:$$3(x+2y)^2-(2+x)(y^2-4x)+(1-x)(1+x)$$Da quanto precedentemente svolto siamo già in grado di svolgere i calcoli arrivando alla forma del polinomio come somma di monomi. Tra i calcoli necessari per svolgere questo compito alcuni sono però notevoli, notevoli nel senso di importanti, famosi, ricorrenti. Come tali quindi vale la pena imparare a memoria il loro risultato risparmiando di doverli ricalcolare ogni volta. Vedremo ora uno alla volta i prodotti notevoli più comuni e il loro utilizzo.I prodotto notevole: somma per differenza tra monomi e applicazione per il calcolo a menteIl primo prodotto notevole è il prodotto tra la somma e la differenza delle due stesse variabili. Per esempio$$(x+y)(x-y)=x^2-yx+yx-y^2=x^2-y^2$$Conoscere il prodotto notevole a memoria permette di evitare il passaggio intermedio ricordando che il prodotto tra somma e differenza di due grandezze è pari alla differenza dei quadrati della grandezze.$$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$$Come anticipato, non è qualcosa di veramente nuovo ma soltanto un modo di procedere più rapidamente, in questo caso saltando un passaggio.Il prodotto notevole vale anche nel caso in cui x e y siano dei monomi$$(xy^2-4zy)(xy^2+4zy)=(xy^2)^2-(4zy)^2=x^2y^4-16z^2y^4$$Questa volta due passaggi sono comunque necessari per arrivare in fondo, ma senza il prodotto notevole ne avremmo avuto bisogno di 4, quindi un po di risparmio cè stato lo stesso!Invece di monomi può trattarsi anche di polinomi (anche se è un po meno usuale negli esercizi questo è molto importante):$$(x+1+3y)(x+1-3y)=((x+1)+3y)((x+1)-3y)=$$$$(x+1)^2-(3y)^2=x^2+x+x+1-9y^2=x^2+2x+1-9y^2$$Nel primo passaggio abbiamo soltanto messo delle parantesi per segnalare quali sono i due componenti del prodotto notevole, in questo caso un binomio (x+1) e un monomio 3y. Riconoscere che un prodotto sia fatto dalla somma e dalla differenza dei due medesimi polinomi può essere la parte meno meccanica, ma con una buona abitudine si riesce a scoprirli. In qualche caso, come in quello ora mostrato, ci si può chiedere se valga la pena applicare il prodotto notevole o se invece valesse la pena svolgere il normale prodotto tra polinomi.Un piccolo chiarimento sui segni: ricordarsi che la somma è unoperazione commutativa e che il segno meno può essere messo in evidenza. Riflettere bene sui prossimi due esempi per capire come queste circostanza permettono di individuare prodotti notevoli del primo tipo anche non forniti in forma evidente$$(y+2x)(2x-y) = (2x+y)(2x-y)=4x^2-y^2$$$$(-3b-a)(a-3b) = -(a+3b)(a-3b)=-(a^2-9b^2)=-a^2+9b^2$$Unultima osservazione sul primo prodotto notevole riguarda la possibilità di usarlo su numeri noti anzichè su espressioni algebriche. Immaginiamo di dover fare il seguente calcolo: 48*52. Si può notare che:$$48*52=(50-2)(50+2)=50^2-2^2=2500-4=2496$$Conoscendo il primo prodotto notevole, e i quadrati perfetti dei numeri (in questo caso 50 al quadrato è banalmente 2500) si possono calcolare a mente molto rapidamente delle moltiplicazioni che altrimenti richiederebbero una certa laboriosità. Si riesce a ripetere l metodo sul prodotto 96*104? Si perchè 96 e 104 distano della stessa quantità da 100, ecco perchè si riesce a scrivere come 100-4 moltiplicato per 100+4.II prodotto notevole: quadrato del binomioIl secondo prodotto notevole che incontriamo è forse il più famoso e usato: il quadrato del binomio. Consideriamo$$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+ab+ab+b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$Il quadrato del binomio \((a+b)\) non è quindi semplicemente \(a^2+b^2\) ma cè un termine in più, il cosiddetto doppio prodotto, \(2ab\). Conoscere il prodotto notevole permette di risparmiare il 2 e 3 passaggio nella precedente equazione, concludendo subito$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$Quanto visto si applica anche ai monomi, e.g.$$(2xy+z^3)^2 = (2xy^2 + 2(2xy)(z^3) + (z^3)^2 =( 2xy)^2 + 2(2xy)(z^3) + (z^3)^2= $$$$4x^2y^2 + 4xyz^3+z^6$$E ovviamente anche ai numeri$$(2x+1)^2 = 4x^2+4x+1$$E Anche in questo caso può servire a fare qualche gioco per risparmiare calcoli a mente$$101^2=(100+1)^2=10000+200+1=10201$$In ogni caso attenzione ai segni, che sono per distrazione o per mancata comprensione una delle maggiori fonti di errore. La soluzione migliore per evitare errori è di mettere dopo il primo passaggio sempre le parentesi attorno ai monomi che compongono il binomio di cui si sta facendo il quadrato. Per esempio:$$(-2x+3)^2 = (-2x)^2+2(-2x)(3)+(3)^2=4x^2-12x+9$$$$(2x-3)^2 = (2x)^2+2(2x)(-3)+(-3)^2=4x^2-12x+9$$Con un po di esperienza si cominceranno poi a mettere i segni giusti anche senza mantenere la parentesi (per esempio si comprenderà perchè le due espressioni precedenti si espandono nella stessa espressione), ma in fondo perchè rischiare se ci si può togliere occasione di distrazione mantenendo le parentesi per almeno un passaggio.Concludiamo con alcune osservazioni legato al significato geometrico del doppio prodotto. Lespressione \((a+b)^2\) può essere interpretata come larea del quadrato di lato a e b. Larea del quadrato di lato \(a+b\) è pari alla somma della aree dei quadrati di lati a e b? Ovviamente la geometria risponde subito di no, manca un pezzo per arrivare allarea cercata, ed è proprio il doppio prodotto, ovvero le aree di due rettangoli di lati a e b.Una figura è ben esplicativa al riguardo.Il quadrato mostrato ha lato \((a+b)\) e quindi la sua area misura proprio il quadrato del binomio \((a+b)^2\). Come si vede tale valore eguaglia la somma di 4 contributi, 2 dei quali sono le aree dei quadrati di lati \(a\) e \(b\) rispettivamente, gli altri 2 sono tra loro uguali e valgono quanto larea del rettangolo di lati \(a\) e \(b\). Ecco quindi uninterpretazione geometrica del prodotto notevole quadrato del binomio.III prodotto notevole: cubo del binomioIl successivo prodotto notevole è un po unestensione del precedente. Iniziamo subito dallo svolgimento manuale, senza la conoscenza del prodotto notevole che, ripetiamo, è, almeno per ora, nientaltro che un modo per risparmiare un po di passaggi di calcolo.$$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)=(a^2+ab+ab+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=$$ $$=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$Il prodotto notevole da imparare a memoria consente questa volta di saltare ben 4 passaggi riassumendo i calcoli in:$$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$Questa volta compaiono due pezzi in più oltre ai cubi dei monomi originari, che sono due tripli prodotti entrambi di 3 grado ma che differiscono per il fatto che uno ha primo monomio di 2 grado e secondo di 1 grado, laltro viceversa. Vediamo subito un esempio con dei monomi anche di segni negativi ricordando sempre laccortezza di mantenere le parentesi finchè permangono i dubbi sui segni$$(2x-3y)^3=(2x)^3+3(2x)^2(-2y)+3(2x)(-2y)^2+(-3y)^3 = 8x^3-24x^2y+24xy^2-27y^3$$Analogamente al quadrato del binomio anche qui i prodotti misti dei monomi, in questo caso moltiplicati per 3, ammettono uninterpretazione geometrica, stavolta come volumi di opportuni parallelepipedi. Capire la forma delle parti in questione in 3D può essere un po difficile, ma alcune conclusioni sono molto interessanti. Immaginiamo di avere una scatola che per semplicità immaginiamo cubica di lato 1 metro. Immaginiamo ora di averne unaltra che ha i lati di 1,5 metri. Ci chiediamo: in che proporzioni sono i rispettivi volumi. Non conoscendo la matematica, saremmo tentati di rispondere 1,5… ma non è proprio cosi, il cubo del binomio insegna a ragionare non più cosi! Proviamo a svolgere i calcoli. Il volume della scatola piccola è chiaramente 1, mentre quello della scatola grande è$$(1+0.5)(1+0.5)(1+0.5)=1^3+3(1)^2(0.5)+3(1)(0.5)^2+(0.5)^3=$$$$=1+1.5+0.75+0.125=3.375$$La valigia più grande è quasi 5 volte più voluminosa della piccola! E quelli che più contano tra i contributi sono i tripli prodotti non i cubi.Potenza del binomio: triangolo di Tartaglia (con dimostrazione ricorsiva)Il triangolo di Tartaglia si può utilizzare per calcolare la potenza \(n-\)esima di un binomio. Indicato il binomio genericamente come \((a+b)\) risulta chiaro che la sua potenza \(n-\)esima è costituita dalla somma di monomi di grado \(n\) nelle indeterminate \(a\) e \(b\). Infatti, eseguendo i prodotti incrociati di una generica potenza $$(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)\ldots(a+b)}_{N volte}$$ si ha che ogni monomio risulta dalla moltiplicazione di \(n\) termini che possono essere \(a\) e \(b\). Restano da determinare i coefficienti (parti numerali) dei monomi costituenti il risultato. Una soluzione diretta è possibile con tecniche di calcolo combinatorio. Il triangolo di Tartaglia offre invece uninteressante soluzione di tipo ricorsivo. Per comprenderla lavoriamo su un esempio e poi generalizziamo il risultato trovato. Ammettiamo di aver già calcolato la potenza quarta $$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$ e di essere interessati a calcolare la potenza successiva \((a+b)^5\). Procediamo così $$(a+b)^5=(a+b)^4 \cdot (a+b)$$ Per quanto visto il risultato è la somma di monomi di grado \(5\) in \(a\) e \(b\). Lo scriviamo quindi come $$(a+b)^5=x_5 a^5 + x_4a^4b + x_3a^3b^2 + x_2a^2b^3 + x_1ab^4 + x_0b^5$$ Dobbiamo determinare i valori dei coefficienti \(x_0 \ x_1 \ x_2\) \( x_3 \ x_4 \ x_5\) i cui nomi ricordano i gradi di \(a\) dei monomi cui sono associati. Riprendiamo lespressione che lega potenza quinta a potenza quarta $$(a+b)^5=(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4)(a+b)$$ Proviamo a svolgere e otteniamo $$(a+b)^5=((a^4\cdot a)+(a^4\cdot b+4a^3b\cdot a)+(4a^3b \cdot b + 6a^2b^2\cdot a) +$$ $$+(6a^2b^2 \cdot b +4ab^3 \cdot a) + (4ab^3 \cdot b +b^4\cdot a) + (b^4 \cdot b))$$ in cui abbiamo usato delle parentesi per evidenziare i monomi simili. Osserviamo che il monomio risultante con parte letterale \(a^5\) si ottiene a partire da quello \(a^4\) della quarta potenza moltiplicato per \(a\). Allo stesso modo il monomio risultante di tipo \(b^5\) si ottiene da quello \(b^4\) moltiplicato per \(b\). Per tutti gli altri monomi (cioè quelli contenenti sia \(a\) che \(b\)) questi provengono da quelli di grado \(4\) ma in due modi. Per esempio il monomio di tipo \(a^3b^2\) si forma a partire da quello \(a^2b^2\) quando viene moltiplicato per \(a\) ma anche a partire da \(a^3b\) quando viene moltiplicato per \(b\). Quindi il coefficiente che moltiplica \(a^3b^2\) sar\a la somma tra i coefficienti di \(a^2b^2\) e di \(a^3b\) della quarta potenza. Queste osservazioni si possono riassumere in modo graficamente comodo nel cosiddetto triangolo di Tartaglia. Questo triangolo presenta in \(I^a\) riga il coefficiente dellunico monomio risultante facendo \((a+b)^0\), in \(II^a\) riga i coefficienti di \((a+b)^1\), in \(III^a\) riga i coefficienti di \((a+b)^2\), e cos\i via dicendo. I coefficienti si trovano ordinati secondo le potenze di \(a\) (o di \(b\) tanto \e la stessa cosa).Per costruire il triangolo si parte dalla prima riga e poi si costruisce la successiva ogni volta sfalsando la posizione dei numeri e ottenendo la cifra dalla somma delle due cifre adiacenti sulla riga precedente. Quindi per esempio la quinta potenza \e:$$(a+b)^5 = a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$ IV prodotto notevole: quadrato del trinomioLultimo prodotto che solitamente si ritiene notevole è il quadrato del trinomio ovveroil prodotto di due trinomi identici. Vediamo subito il risultato$$(a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)=a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2=$$$$=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$Ricordare il prodotto notevole permette di risparmiare il II e III passaggio e arrivare direttamente allultimo. Il risultato mostra che il quadrato del trinomio contiene i quadrati dei singoli monomi e poi i 3 diversi doppi prodotti tra i monomi stessi presi a due a due. Esiste quindi unanalogia tra quadrato del binomio e quadrato del trinomio. Per il trinomio i doppi prodotti sono 3 invece di uno solo, ma la struttura del risultato è la stessa. In effetti il risultato si può estendere al caso anche di polinomi con più termini. Non è difficile rendersi conto che il risultato contiene sempre il quadrato dei singoli monomi più la somma di doppi prodotti tra le tutte le possibili accoppiate di monomi presenti nel polinomio originario.Prima di andare avanti, facciamo come sempre un esempio contenente monomi un po più complessi e anche con segni negativi:$$(2x-4x^2z+5y^3)^2=((2x)^2+(-4x^2z)^2+(5y^3)^2+2(2x)(-4x^2z)+2(2x)(5y^3)+$$$$+2(-4x^2z)(5y^3))=4x^2+16x^4z^2+25y^6-16x^3z+20xy^3-40x^2zy^3$$Come al solito, per evitare errori soprattutto sui segni è bene mantenere le parentesi nel passaggio in cui si utilizza il prodotto notevole.Espressioni letterali: utilizzo dei prodotti notevoliOra che tutti e 4 notevoli sono stati spiegati, possiamo vederne lapplicazione nellespansione di unespressione letterale complessa. Ad esempio$$(2+x)(x+1)(2-x)+(4+x)(x+4)-7x(x-1)^3$$Quanti e quali prodotti notevoli compaiono nella precedente espressione?Il primo prodotto coinvolge 3 binomi, considerando il primo e il terzo dei quali si nota che si ha un prodotto notevole del primo tipo \( (2+x)(2-x)\). Il secono addendo è un quadrato di un binomio anche se non scritto in modo esplicito come sarebbe \((x+4)^2\). Infine, abbiamo un prodotto tra un monomio e il cubo di un binomio. Ecco come si può espandere lespressione precedente sfruttando la conoscenza dei prodotti notevoli.$$(x+1)(2^2-x^2)+x^2+4^2+2\cdot x \cdot 4 -7x(x^3-3x^2+3x-1)=$$$$=4x-x^3+4-x^2+x^2+16+8x-7x^4+21x^3-21x^2+7x=$$$$=-7x^4+20x^3-21x^2+19x+20$$Quindi, laspetto più importante dopo aver imparato i prodotti notevoli è saperli riconoscere nelle espressioni complesse. Altrimenti si perde il vantaggio di conoscere quelle espressioni e risparmiare i calcoli che vi sono legati. Prima di concludere il capitolo unosservazione sulla reale utilità dei prodotti notevoli. Allinizio abbiamo spiegato, e poco abbiamo rivisitato, la loro utilità per risparmiare calcoli quando si espandono espressioni algebriche. Ma questo uso potrebbe sembrare, e infatti in un certo senso è cosi, non di centrale importanza. Limportanza dei prodotti notevoli è maggiore però quando si parlerà di scomposizione di polinomi, processo nel quale la conoscenza di prodotti il cui risultato è prevedibile senza fare calcoli diventa di vitale importanza.