1. Richiami sugli insiemi e considerazioni sulla matematica

<p>Se domandassimo a un pubblico più o meno esperto di matematica, quale pensa sia il concetto di base di questa disciplina risponderebbe probabilmente che si tratta del concetto di numero. Numero e matematica sono spesso più o meno consciamente identificate. Ecco il malvagio K1 progettare la bomba capace di distruggere tutti i numeri esistenti e il concetto stesso di numero, nel film &quot;Nati con la camicia&quot; con Bud Spencer e Terence Hill. Cosa ne sarebbe del mondo senza i numeri…</p><div align=”center”><object height=”385″ width=”480″><param name=”movie” value=”http://www.youtube.com/v/q1847NFK77U&amp;hl=en_US&amp;fs=1&amp;rel=0″ /><param name=”allowFullScreen” value=”true” /><param name=”allowscriptaccess” value=”always” /><embed allowfullscreen=”true” allowscriptaccess=”always” height=”385″ src=”http://www.youtube.com/v/q1847NFK77U&amp;hl=en_US&amp;fs=1&amp;rel=0″ type=”application/x-shockwave-flash” width=”480″></embed></object></div><p>Ma pensare che il numero sia il concetto fondamentale della matematica non è corretto almeno per la matematica come oggi la conosciamo. E se questa sia l&#39;unica matematica possibile o se sia una delle possibili artefazioni umane non è questa la sede in cui discuterne…. Quale è dunque il concetto che si pone alla base della matematica? Uno dei concetti veramente di base è il concetto di <b>insieme</b>. La definizione di insieme è quella di &quot;collezione di oggetti&quot; ma questa definizione non serve a molto perchè occorrerebbe definire il concetto di collezione e quello di oggetto. Andando indietro con le definizioni si arriva alla fine o a un circolo vizioso in cui cioè si comincia a definire i concetti in funzione di loro stessi, oppure si arriva ad un ostacolo concettuale. Nella seconda ipotesi, la migliore delle due, questo muro invalicabile indica la necessità di prendere dei concetti come dati, senza definizione: si tratta dei postulati o assiomi matematici. Definiti questi, si può costruire una teoria matematica. Il concetto di insieme è quindi la base di un enorme numero di concetti, teoremi,… Ecco in figura la piramide della costruzione matematica: dagli assiomi, alle definizioni, ai lemmi (teoremi utili solo a dimostrare altri teoremi), i teoremi, corollari (teoremi diretta conseguenza di altri teoremi). Per inciso, in matematica un teorema è un enunciato dimostrato.</p><div align=”center”><img src=”./figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/piramide_matematica.png” /></div><p>I <b>numeri</b> sono quindi definizioni basate sul concetto di insieme. O meglio: è conveniente in matematica definire i numeri a partire dagli insiemi. Un modo di farlo è a partire dall&#39;insieme vuoto $\varnothing$, ovvero il più semplice insieme che si possa concepire: l&#39;insieme che non contiene alcun elemento. A scopo illustrativo diamo un cenno della costruzione degli interi a partire dagli insiemi. Dall&#39;insieme vuoto, che chiamiamo $A_0$ se ne può costruire un altro che chiamiamo $A_1$ contenente due elementi: l&#39;insieme vuoto e l&#39;insieme $A_0$ (si noti che i due elementi sono distinti perche&#39; il primo è l&#39;insieme vuoto, il secondo è l&#39;insieme il cui unico elemento è l&#39;insieme vuoto). Si può ancora andare avanti e costruire un terzo insieme detto $A_2$ i cui elementi sono gli elementi dell&#39;insieme precedente più l&#39;insieme precedente stesso considerato come elemento. Questa costruzione può procedere indefinitamente: a questo punto si battezza l&#39;insieme $0=A_0$, $1=A_1$, $2=A_2$, e così via. Sintetizzando i numeri possono essere definiti a partire dagli insiemi in questo modo: $$0=A_0=\{\varnothing\} $$ $$1=A_1=\{\varnothing,A_0\}$$ $$2=A_2=\{\varnothing,A_0,A_1\}$$ $$3=A_3=\{\varnothing,A_0,A_1,A_2\}$$ $$\ldots$$ Dopo aver concluso questo breve inciso, vedremo nei prossimi paragrafi come il discorso di questo capitolo sulle funzioni si avvantaggi particolarmente del concetto di insieme e delle sue proprietà. Prima di iniziare è quindi necessario avere in mente i concetti fondamentali nell&#39;ambito della teoria degli insiemi, che qui elenchiamo succintamente:</p><ul><li>Insiemi ed elementi: appartenenza</li><li>insiemi confrontati: sottoinsieme proprio e improprio, contiene</li><li>Insiemi derivati da altri insiemi: unione, intersezione, differenza, complementare.</li></ul>