2. Relazioni

<p>A livello intuitivo il concetto di funzione si può ricollegare con quello di meccanismo ingresso-uscita, comunissimo nelle descrizioni di tipo ingegneristico.</p><div align=”center”><img src=”./figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/ingressouscita.jpg” width=”400″ /></div><p>Si tratta cioè di una schematizzazione generale di un gran numero di fenomeni in cui ci sia un qualche elemento, dato, azione in ingresso cui corrisponda una qualche risposta in uscita. Per esempio possiamo considerare il distributore di lattine che prende in ingresso i soldi e il numero della selezione e restituisce la lattina desiderata. Oppure il legame tra la posizione dell&#39;acceleratore di un automobile e l&#39;accelerazione di questa. Avremo modo nel corso del capitolo di fare vari esempi di funzione. Dal punto di vista logico potremmo riallacciarlo al discorso causa-effetto, ma nel caso di una funzione non si tratta propriamente di causa effetto quanto di un legame ingresso-uscita che può anche essere artificialmente imposto da chi descrive il fenomeno. Per introdurre in modo matematicamente corretto il concetto di funzione occorre, come detto nello scorso paragrafo, riallacciarsi alla teoria degli insiemi. Definiamo anzitutto il prodotto cartesiano tra due insiemi. Dati due insiemi $A$ e $B$ l&#39;insieme prodotto cartesiano tra questi si indica con $$A \times B$$ ed è un insieme che ha per elementi tutte le coppie di elementi presi il primo dall&#39;insieme $A$ e il secondo dall&#39;insieme $B$. Per esempio: $$A=\{a,b\} \quad \quad B=\{x,y,z\}$$ l&#39;insieme prodotto cartesiano è dato da: $$A\times B = \{(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z)\}$$ Proviamo ora a considerare un sottoinsieme del prodotto cartesiano $$R\subseteq A\times B $$ Sia per esempio: $$R=\{(a,x),(a,z),(b,x),(b,y)\}$$ L&#39;insieme $R$ definisce in pratica una selezione di coppie di elementi di $A$ e $B$: se consideriamo $R$, possiamo dire che gli elementi di $A$ sono legati a quelli di $B$ dal fatto di essere presenti o meno come coppia in $R$. Per questo motivo un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra due insiemi si chiama <b>relazione</b> tra gli insiemi. In termini più intuitivi, quindi, una relazione tra due insiemi è una legge che associa alcuni elementi del primo insieme ad alcuni elementi del secondo insieme. Gli elementi sono associati se si trovano nell&#39;insieme $R$ mentre sono non legati se non vi appartengono. Si dice quindi che l&#39;elemento $a \in A$ è in relazione $R$ con l&#39;elemento $z \in B$ mentre l&#39;elemento $b \in A$ non è in relazione con l&#39;elemento $z \in B$. Esistono vari modi per descrivere una relazione: il primo, come visto, è quello di indicare direttamente il sottoinsieme del prodotto cartesiano $A \times B$ con i suoi elementi. Il secondo modo, molto simile al primo, utilizza una tabellina due colonne in cui nella medesima riga si scrivono gli elementi associati. Un altro modo è quello di rappresentare graficamente usando i cosiddetti diagrammi di Venn. Ecco rappresentata qua sotto la relazione $R$ definita in precedenza mediante tabella e mediante diagramma di Venn.</p><div align=”center”><img src=”./figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/relazioni_tabella_venn.png” width=”98%” /></div><p>E&#39; chiaro che questi modi di rappresentare le relazioni sono agevoli finchè il numero di elementi e di connessioni è limitato, altrimenti la lista o il grafico diventano troppo pesanti per permettere di conoscere più in profondità le caratteristiche della relazione.</p>