Notazione scientifica, arrotondamento ed ordine di grandezza

Abbiamo visto in precedenza come per rappresentare più agevolmente (risparmiando il numero di zeri da scrivere) alcune grandezze fisiche sia opportuno utilizzare prefissi che definiscono convenzionalmente multipli e sottomultipli delle unità di misura. In effetti, per limitare questo problema, esiste anche unaltra possibilità che è data dalla notazione scientifica. Tale notazione, utilizzata anche in altre discipline, presenta inoltre altri vantaggi che andremo ad analizzare man mano che andiamo avanti nella spiegazione. La notazione scientifica consiste nello scrivere un numero come un prodotto tra un numero compreso tra 1 e 10 — detto mantissa — e una potenza di 10. Ad esempio se devo indicare la massa della terra posso dire che (approssimando) questa è pari a: \[5974200000000000000000000~kg = 5,9742 \cdot 10^{24}~kg\] Al secondo membro abbiamo utilizzato la notazione scientifica in cui si può distinguere la mantissa pari a \(5,9742\) e la parte in forma di potenza di 10. Occorre fare attenzione che, affinchè si parli di notazione scientifica la mantissa deve compresa tra 1 (incluso) e 10 (escluso). Così il numero 734,56 si può rappresentare come \(0,73456\cdot 10^{3}\)\(73,456\cdot 10^{1}\)\(7,3456\cdot 10^{2}\) ma solo lultima è la notazione scientifica perchè ha la mantissa compresa tra 1 e 10. Da un punto di vista pratico, per capire quale esponente dare ad un certo numero nella sua forma esponenziale si contano la posizioni di cui è necessario spostare la virgola contando positivi gli spostamenti verso sinistra e negativi quelli a destra. La notazione scientifica permette di trasformare molto agevolmente le grandezze nei casi di cambio di unità di misura. Per esempio \[4~cg^2 = 4 \cdot (10^{-2} 10^{-3})^2~kg^2 = 4 \cdot 10^{-10}~kg^2 \] Questo richiede però unagile conoscenza della proprietà delle potenze, per svolgere espressioni aritmetiche come ad esempio $$10^3\cdot 10^4 = 10^7 \quad ; \quad 10^5/10^3=10^2 \quad ; \quad (10^3)^4 = 10^{12}$$ A scopo inoltre di riferimento, riscriviamo il significato dei prefissi usando potenze di 10:

pico – p – \(10^{-9}\)

micro – \(\mu\) – \(10^{-6}\)

milli – m – \(10^{-3}\)

centi – c – \(10^{-2}\)

deci – d – \(10^{-1}\)

deca – da -\(10^{1}\)

etto – h – \(10^{2}\)

kilo – k – \(10^{3}\)

Mega – M – \(10^{6}\)

Giga – G – \(10^{9}\)

Molte volte nella scrittura della mantissa o anche nella scrittura normale dei numeri può essere opportuno arrotondare i numeri. Larrotondamento è un problema molto importante in fisica e ne discuteremo il significato man mano che andremo avanti nellesposizione. Dal punto di vista operativo, se consideriamo un numero con molte cifre decimali, il processo di arrotondamento consiste nel diminuire man man le sue cifre decimali modificando lultima cifra scritta per tener conto dei decimali cancellati. Se si cancella un decimale, per tener traccia della sua grandezza si attribuisce allultimo decimale ancora scritto – il valore scritto se il decimale cancellato è inferiore a 5 (approssimazione per difetto) – un valore superiore se il decimale cancellato è superiore a 5 (approssimazione per eccesso) – il valore scritto oppure un valore superiore se il decimale cancellato è 5 (approssimazione per difetto oppure per eccesso) Per esempio quindi mostriamo il processo di arrotondamento$$4,672538 \rightarrow 4,67254 \rightarrow 4,6725 \rightarrow 4,673 \rightarrow 4,67 \rightarrow 4,7 \rightarrow 5$$ Il numero aveva inizialmente 6 cifre decimali (cioè le cifre dopo la virgola) e man mano ha perso una cifra decimale alla volta. Quanto sia opportuno arrotondare è un problema complesso legato al significato della quantità di cifre decimali, e lo studieremo in seguito. Alcuni numeri presentano qualche difficoltà in più di arrotondamento. – un caso è un numero con più 9 consecutivi, per esempio 3,369999: in questo caso larrotondamento dellultimo nove porta ad aumentare il penultimo nove generando anche un riporto che va a influenzare anche il 9 precedente e così via. In pratica è molto semplice perchè è abbastanza evidente che il numero scritto sia molto vicino a 3,37. Questo il processo di arrotondamento per un tale numero $$3,369999 \rightarrow 3,37000 \rightarrow 3,3700 \rightarrow 3,370 \rightarrow 3,37 \rightarrow 3,4 \rightarrow 3$$ Attenzione che, come vedremo in seguito, occorre in fisica tenere anche gli zeri in fondo ad numero decimale (per esempio in 3,3700). – un altro caso peculiare si presenta quando un numero ha alcuni 5 consecutivi come cifre decimali. Per esempio 2,35555. In questo caso, la regola data per lapprossimazione del 5 fatta a piacere non è più molto opportuna ma occorre preferire lapprossimazione per eccesso. Se infatti approssimassi tutti insieme i 5 presenti nel numero vedo che 5555 è più vicino a 6000 che a 5000. Vediamo quindi il percorso di approssimazione del numero $$2,35555\rightarrow 2,3556 \rightarrow 2,356 \rightarrow 2,36\rightarrow 2,4 \rightarrow 2$$ E possibile considerare lapprossimazione anche per numeri senza decimali oppure applicare lapprossimazione ulteriormente rispetto a quanto visto. Se per esempio abbiamo il numero 2637,3 questo può essere approssimato come $$2637,3 \rightarrow 2637 \rightarrow 2640 \rightarrow 2600 \rightarrow 3000$$ Il processo non presenta nulla di nuovo se lo consideriamo in notazione scientifica $$2,637 \cdot 10^3 \rightarrow 2,64 \cdot 10^3 \rightarrow 2,6\cdot 10^3 \rightarrow 3\cdot 10^3$$ Si può approssimare ancora di più? Sì, cè ancora una possibilità di approssimare in modo davvero molto forte decidendo quello che si chiama semplicemente ordine di grandezza di un numero. Si tratta in pratica di decidere a quale potenza di 10 un numero è più vicino. Per esempio il numero 2637,3 approssimato prima è diventato 3000 ma possiamo dire come ordine di grandezza che è circa (attenzione alle virgolette) pari a 1000. In notazione scientifica il senso di questo è molto naturale: corrisponde in pratica ad approssimare la mantissa a 1 o 10 e dare poi attenzione soltanto alla parte esponenziale \( 3\cdot 10^3 \rightarrow 10^3 \) \( 7,3 \cdot 10^{-2} \rightarrow 10 \cdot 10^{-2} = 10^{-1} \) Può sembrare unapprossimazione davvero notevole ma in diversi contesti può essere utile. Se devo dimensionare lo spessore di un pavimento posso considerare che in una certa stanza ci saranno al massimo 10 persone e per il peso della persona posso considerare semplicemente il suo ordine di grandezza che è 100~kg e in questo modo posso fare un calcolo che non riguarda una singola persona (magra o grassa che sia) ma una persona in generale il cui peso è interessante ai fini della costruzione solo per quello che riguarda il suo ordine di grandezza. Concludiamo dicendo che quando si approssima un numero invece delle frecce che abbiamo usato finora si usa di solito un simbolo che si legge come circa e che è una piccola deformazione delluguale per ricordarmi che è circa uguale a $$ 4,78 \simeq 4,8$$