3. Funzioni: definizione e tipologie

<p>E&#39; possibile definire per le relazioni un gran numero di proprietà che le distinguono secondo diversi criteri e finalità. Se consideriamo una relazione di un insieme con se stesso, abbiamo per esempio le proprietà riflessiva (ogni elemento è in relazione con se stesso), simmetrica (se un elemento è in relazione con un altro allora anche l&#39;altro è in relazione con il primo), transitiva (se $a$ è in relazione con $b$ e $b$ lo è con $c$ allora $a$ è in relazione con $c$). Se una relazione gode di queste 3 proprietà si dice relazione di equivalenza ed è possibile dimostrare al riguardo importanti risultati. In questo capitolo però siamo interessati ad altre proprietà delle relazioni. Data una relazione tra l&#39;insieme $A$ e l&#39;insieme $B$ si considerino le seguenti proprietà: – (A1) ogni elemento di $A$ è in relazione ad almeno un elemento di $B$ – (A2) un elemento di $A$ è in relazione al più con un elemento di $B$ e le analoghe dal punto di vista di $B$ – (B1) ogni elemento di $B$ è in relazione ad almeno un elemento di $A$ – (B2) un elemento di $B$ è in relazione al più con un elemento di $A$ Se una relazione soddisfa le proprietà (A1) e (A2) tale relazione prende il nome di <b>funzione</b>. Quindi, una relazione tra $A$ e $B$ è una funzione se a ciascun elemento di $A$ corrisponde uno ed un solo elemento di $B$. In pratica, perchè una relazione sia una funzione deve esistere un modo univoco di raggiungere l&#39;insieme di arrivo a partire dall&#39;insieme di partenza. Tornando alla descrizione intuitiva ingresso-uscita del paragrafo scorso, è come se richiedessimo che il dispositivo sia deterministico, che restituisca cioè sempre la stessa uscita in risposta a un certo ingresso. Si noti bene che questo non impedisce di avere due risposte rispetto ad uno stesso ingresso se queste sono simultanee ma che la risposta sia l&#39;una o l&#39;altra in base a non si sa quale fattore. Chiariamo meglio questo importante punto. La relazione $R$ vista nel paragrafo precedente $$R=\{(a,x),(a,z),(b,x),(b,y)\}$$ non è una funzione perchè l&#39;elemento $a\in A$ è associato a due elementi di $B$, precisamente $x$ e $z$. Se però io prendo gli insiemi $$C=\{a,b\} \ \ \ e \ \ \ D=\{(x,z),(x,y)\}$$ e considero la relazione $$R_2=\{(a,(x,z)), (b,(x,y))\} \subseteq C\times D$$ in questo caso ho che $a$ è associato in modo univoco alla coppia di elementi $(x,z)$ e anche $b$ è associato in modo univoco alla coppia di elementi $(x,y)$. Poichè è verificata anche l&#39;altra proprietà della funzione, ovvero che ogni elemento sia trasformabile, si conclude che $R_2$ è una funzione. Se una funzione rispetta la proprietà (B1) si dice funzione <b>suriettiva</b>. Se invece, oltre alle (A1) e (A2), rispetta la (B2) si dice funzione <b>iniettiva</b>. Se, infine, rispetta tutte le 4 proprietà si parla di funzione <b>biiettiva</b>, detta anche corrispondenza biunivoca. Quindi per esempio $$A=\{a,b\} \ \ \ B=\{x,y,z\} \ \ \ R_3=\{(a,y),(b,z)\}$$ $R_3$ è una funzione iniettiva (elementi distinti hanno immagini distinte) ma non suriettiva (l&#39;elemento $x$ non è immagine di alcun elemento). $$A=\{a,b,c\} \ \ \ B=\{x,y\} \ \ \ R_4=\{(a,y),(b,x),(c,y)\}$$ $R_4$ è una funzione suriettiva (tutto il codominio è raggiunto tramite la funzione) ma non iniettiva ($a$ e $c$ hanno entrambi immagine $y$). $$A=\{a,b,c\} \ \ \ B=\{x,y,z\} \ \ \ R_5=\{(a,y),(b,x),(c,x)\}$$ $R_5$ è una funzione non iniettiva ma non suriettiva. $$A=\{a,b,c\} \ \ \ B=\{x,y,z\} \ \ \ R_6=\{(a,y),(b,x),(c,z)\}$$ $R_6$ è una funzione iniettiva e suriettiva, quindi è una corrispondenza biunivoca. Tentiamo di spiegare un po&#39; più intuitivamente quanto detto ma prima introduciamo un po&#39; di lessico e simbologia specifici per le funzioni. L&#39;insieme $A$ si dice dominio della funzione mentre l&#39;insieme $B$ si dice codominio (notiamo per inciso che purtroppo non tutti i libri di testo utilizzano questa nomenclatura, come ripeteremo quando parleremo del campo di esistenza). In simboli: $$f:A\rightarrow B$$ Se l&#39;elemento $a\in A$ è in relazione con $b\in B$ allora si dice che $b$ è l&#39;immagine di $a$ tramite la funzione $f$. In simboli (si noti la differenza della freccia in questo caso): $$f:a\mapsto b$$ oppure più comunemente $$b=f(a)$$ Viceversa $a$ è una controimmagine di $b$. Diciamo &quot;una&quot; controimmagine perchè se la funzione non è biiettiva la controimmagine di un elemento del codominio può non esistere oppure ne possono esistere diverse. Infine l&#39;insieme di tutte le immagini degli elementi di $A$ tramite $f$, che è logicamente un sottoinsieme del codominio $B$, si dice immagine di $A$ e si indica con $$f(A)$$. Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$: questo equivale a dire che l&#39;immagine di $A$ coincida con il codominio stesso. Una funzione è iniettiva se un elemento del codominio è immagine al più di un elemento di $A$: questo equivale a dire che elementi distinti di $A$ hanno immagini diverse in $B$ (perchè se avessero uguali immagini vorrebbe dire che questa immagine è comune a due elementi, e quindi la funzione non sarebbe iniettiva.) Gli esempi e gli usi sulle funzioni sono sterminati: praticamente ogni campo della scienza ne è pieno, anche discipline non scientifiche fanno un uso implicito di questo concetto. Per spiegare meglio il concetto di funzione e le sue tipologie ci riferiamo a due esempi musicali. Consideriamo anzitutto il pianoforte, di cui probabilmente ognuno conosce sommariamente il metodo per produrre le note <a href=”http://www.thevirtualpiano.com/”>Suona il pianoforte qui</a>. Consideriamo quindi la funzione di dominio $$A=\{\text{tasti del pianoforte}\}$$ e codominio $$B=\{\text{note musicali}\}$$ definita come la legge che associa ad un tasto del pianoforte quella nota prodotta dalla pressione del tasto stesso. E&#39; evidente che questa legge corrisponde proprio ad una funzione in quanto la pressione di un certo tasto del pianoforte produce sempre una ben definita nota musicale. Poichè però non tutte le note musicali sono producibili da un pianoforte la funzione definita non è suriettiva. La funzione è però iniettiva perchè una qualunque nota musicale è producibile dalla pressione di unico tasto. Consideriamo ora invece una chitarra e, lasciando inalterato il codominio, consideriamo come dominio l&#39;insieme delle posizioni della mano sinistra e assumiamo come ipotesi restrittiva che si prema esattamente una nota per volta (è escluso quindi anche il caso di corde a vuoto). Come funzione scegliamo quella che associa ad una certa posizione della mano sinistra la nota corrispondente al suono prodotto dalla corda pigiata. Quanto spiegato si può sperimentare facilmente qui: <a href=”http://www.kongregate.com/games/warlockninja/virtual-guitar”>Suona la chitarra </a> Ebbene è facile verificare che anche in questo caso si tratta di una funzione non suriettiva in quanto non tutte le note musicali sono suonabili da una chitarra. In questo caso la funzione non è nemmeno iniettiva perchè con la chitarra è possibile produrre lo stesso suono con due posizioni diverse della mano sinistra. Sulla chitarra virtuale si può verificare questo suonando la prima corda nel tasto più a sinistra e la seconda corda con il sesto tasto: si ottengono suoni identici, cosa che spiega quanto si sta dicendo.</p>