4. Funzioni numeriche, equazioni e grafico

<p>Un caso particolarmente notevole di funzione è quello in cui dominio e codominio sono insiemi numerici. Ricordiamo in via assolutamente sintetica i principali insiemi numerici di uso comune:
$N=\{1,2,3,4,5,\ldots\}$ è l&#39;insieme dei numeri naturali,
$Z=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,\ldots\}$ è l&#39;insieme dei numeri interi,
$Q=\{\frac{m}{n}, m,n \in Z\}$ l&#39;insieme dei numeri razionali formato cioè da tutti i numeri esprimibili come frazione di numeri interi,
$R$ l&#39;insieme dei numeri reali, difficile da definire in modo matematicamente esatto, ma possiamo dire in modo intuitivo che è l&#39;insieme che completa l&#39;insieme dei numeri razionali aggiungendo i numeri irrazionali.
Spesso si considerano i sottoinsiemi di $R$ formati da numeri contigui, denominati intervalli di $R$. Si indica con $$[a,b]$$ l&#39;intervallo contenente i reali compresi tra $a$ e $b$ inclusi gli estremi. Le parentesi quadre vanno invertite nel caso in cui l&#39;estremo dell&#39;intervallo sia escluso. Quindi $$[a,b] \ \ \ \ \ \ \ a\le x \le b$$ $$[a,b[ \ \ \ \ \ \ \ a\le x &lt; b$$ Nel casi in cui si considerino intervalli limitati solo superiormente o inferiormente si fa uso del simbolo di infinito $\infty$ e in tal caso l&#39;estremo infinito è sempre escluso, in quanto $\infty$ non è un numero reale. Quindi $$]-\infty,b] \ \ \ \ \ \ \ \ x\le b$$ Una funzione si dice <b>numerica</b> quando dominio e codominio sono insiemi numerici. Solitamente si tratta degli insiemi numerici prima definiti o di loro sottoinsiemi. E&#39; chiaro che limitarsi alle funzioni numeriche limita notevolmente il concetto di funzione ma permette di definire nuove e proprietà e strumenti di analisi, validi specificamente per i numeri. Tra le funzioni numeriche si dicono <b>successioni</b> quelle funzioni che hanno per dominio l&#39;insieme dei numeri naturali o un suo sottoinsieme. $$f: A \rightarrow B \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\subseteq N$$ La simbologia comune prevede per queste funzioni che l&#39;elemento di partenza non si trovi tra parentesi dopo il nome della funzione come di solito ma a pedice di questo. In altre parole data la successione $f$ si preferisce scrivere $$f_1= 4$$ invece di $f(1)=4$. La più semplice di queste successioni è la cosiddetta progressione aritmetica definita in questo modo: $f_1= a$, $f_2=a+k$, $f_3=a+2k$, $f_4=a+3k$, $f_5=a+4k$, $\ldots$ essendo $a$ un valore di partenza e $k$ l&#39;incremento tra un termine e il successivo detto ragione della progressione aritmetica. Come per qualunque relazione o funzione è possibile rappresentare una funzione numerica con ciascuno dei 3 modi visti — il sottoinsieme del prodotto cartesiano, la tabellina p i diagrammi di Venn — tuttavia sorge una difficoltà non da poco che è il fatto che dominio e codominio hanno spesso un numero di elementi infinito: questo comporta che qualunque metodo finora visto per descrivere la funzione diviene incompleto quando si ha a che fare con insiemi infiniti, come per esempio $N$. Come risolvere questa difficoltà? Introducendo un quarto modo di rappresentare le funzioni che è quello dell&#39;<b>equazione</b>. Prendendo ad esempio la progressione artimetica vista si vede che è possibile esperimere il legame funzionale con una semplice equazione $$f_n=a+(n-1)\cdot k$$ Nella precedente l&#39;uso di $n$ esprime il fatto che la precedente è valida come legge di trasformazione del generico elemento $n\in N$. Questa equazione racchiude quindi in sè il modo in cui la funzione $f$ trasforma gli elementi del dominio: poichè sono in quantità infinita sarebbe stato impossibile elencare tutte le singole coppie elemento-immagine, mentre è possibile riassumere tutto con un&#39;unica equazione. Si noti che talvolta si usa esprimere le successioni in modo ricorsivo, ovvero esprimendo un termine in funzione del precedente. Nel caso precedente si otterrebbe l&#39;equazione $$f_n=f_{n-1}+k$$ che, completata con l&#39;elemento di partenza della successione $f_1=a$, contiene in sè tutte le coppie elemento-immagine della successione in esame. Un altro caso particolarmente importante di funzione numerica è quello di una <b>funzione reale di variabile reale</b>. Funzione di variabile reale significa che il dominio è dato dall&#39;insieme dei numeri reali (o da un sottoinsieme) mentre funzione reale vuol dire che anche il codominio è dato dall&#39;insieme dei reali (o da un suo sottoinsieme). $$f:A\rightarrow B \ \ \ \ \ \ \ \ \ A,B\subseteq R$$ Anche per questo tipo di funzioni una rappresentazione particolarmente conveniente è quella che fa uso dell&#39;equazione della generica trasformazione. Detto $x$ il generico elemento del dominio e $y$ il generico elemento del codominio, una funzione di variabile reale si indicherà come, per esempio, $$f(x) = 3x^2+4x-3$$ Per le funzioni reali di variabile reale è particolarmente utilizzata la terminologia variabile indipendente per il generico elemento del dominio ovvero $x$ in questo esempio e variabile dipendente per il generico elemento del codominio, in questo caso $y$. Si faccia attenzione al fatto che i nomi di $x$ e $y$ sono generici e non hanno quindi alcuna importanza per definire la funzione, ma ha importanza solo il loro legame. La funzione precedente si può quindi anche scrivere in modo del tutto equivalente come $$f(k) = 3a^2+4a-3$$. L&#39;unico nome effettivo in questa espressione è quello della funzione $f$, che designa appunto il legame tra il generico elemento del dominio e quello del codominio. Per queste funzioni si può fare anche uso di un ulteriore modalità di rappresentazione che è quella grafica. A tal fine si può rappresentare il dominio lungo una retta detta $x$ contenente gli elementi ordinati di $R$ e analogamente il codominio lungo una retta ortogonale alla prima detta $y$. A questo punto un generico punto del piano contenente le due rette rappresenta una coppia elemento-immagine che definisce la funzione. Infatti, proiettando questo punto sulle rette $x$ e $y$ si trovano due elementi del dominio e codominio che sono tra di loro in relazione. In particolare partendo dalla proiezione su $x$ si procede fino al punto della curva parallelamente alla retta $y$ e poi si procede parallelamente ad $x$ fino a raggiungere l&#39;altra proiezione, che rappresenta l&#39;immagine della prima. Se poi consideriamo tutte le coppie elemento-immagine allora si avrà sul piano la rappresentazione di un insieme di punti, in buona parte dei casi rappresentati da una curva o da un insieme di curve del piano definito dalle rette $x$ e $y$. Si osservi in figura la differenza tra la $x$ che è nome della retta su cui si rappresenta il dominio e la $x$ come generico elemento del dominio.</p><div align=”center”><img src=”/matefisica/figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/funzioni_reali.jpg” /></div>