5. Dominio, codominio e campo di esistenza di funzioni reali di variabile reale

<p>Il grafico di una funzione data la legge che la descrive si può ottenere per punti o riconoscendo la curva in esame secondo le regole della geometria analitica. In tale prospettiva si considera l&#39;equazione in cui compare direttamente la $y$, cioè $$y=f(x)$$ Se è vero che un&#39;equazione può contenere la legge funzionale di trasformazione tra dominio e codominio, è vero anche che manca però di due dati fondamentali che sono la specifica di dominio e codominio stessi. Assegnare una funzione non significa quindi assegnare semplicemente la forma di $f(x)$ ma anche specificare dominio e codominio. Per esempio se consideriamo la funzione $$f(x) = 3x+5$$ questa è rappresentata da una retta, ma la scelta del dominio fa sì che si tratti dell&#39;intera retta o solo di una parte. Data una certa equazione per $f(x)$ si chiama <b>campo di esistenza</b> il più grande insieme che è possibile prendere perchè questa legge esprima una funzione. Il campo di esistenza contiene quindi tutti i numeri reali che è possibile trasformare secondo la legge data. Se consideriamo per esempio $$f(x) = \sqrt{x-2}$$ si ha che è possibile trasformare soltanto i valori di $x\ge 2$. Il campo di esistenza è quindi $$C=[2,\infty[$$ Questo non significa che il dominio debba essere pari a $C$ ma impone che debba sempre esserne un sottoinsieme. Come estensione dell&#39;osservazione precedente, una curva (o un insieme di punti) del piano $x-y$ rappresenta una funzione $f:x\mapsto y$ soltanto limitando opportunamente il dominio da scegliere, ovvero determinando il campo di esistenza. Data l&#39;equazione di una curva del piano $x-y$ nella forma implicita, per determinarne il campo di esistenza come funzione occorre esplicitare la $y$. Per esempio data la curva di equazione $$x^2+y^2=1$$ si trova $$y=\pm \sqrt{1-x^2}$$ e si vede quindi che necessariamente deve essere $1\le x\le 1$. Tuttavia per questi valori si avrebbero due valori di $y$ associati e quindi non si tratta di una funzione a meno di scegliere come dominio gli unici punti che si trasformano in un unico modo $\{-1,1\}$. Alle stesse conclusioni si può giungere a partire dal grafico di una funzione. Per determinare il campo di esistenza occorre verificare che per quali valori di $x$ esiste uno e un solo trasformato $y$. <img src=”./figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/funzioni_o_no.jpg” /> Per esempio, le funzioni in figura hanno campo di esistenza pari a $C=]-\infty,0[\cup ]0,4[$ e $C=]-\infty,-3]\cup [1,\infty[$. In alcuni casi ha interesse restringere ulteriormente il dominio rispetto a quanto imposto dalle condizioni di esistenza. Uno scopo può essere quello di selezionare un certo dominio per far sì che una certa funzione sia iniettiva. Se consideriamo per esempio la parabola $$y=x^2+1$$ prendendo come dominio e codominio l&#39;intero asse reale (scelta possibile perchè il campo di esistenza è proprio $R$) questa funzione da $x$ in $y$ non è iniettiva perchè, per esempio, sia il punto $x=1$ che quello $x=-1$ si trasformano sempre in $f(1)=f(-1)=2$. Poichè quindi l&#39;elemento del codominio $2$ è associato a più di un elementod dominio manca l&#39;iniettività. Se però scegliamo come dominio soltanto il semipiano a destra dell&#39;asse $y$, ovvero prendiamo $$A=[0,\infty[$$ si vede che in questo caso le immagini di elementi distinti sono distinte ovvero la funzione è iniettiva. In figura sotto viene spiegato graficamente quanto fatto. Logicamente si può scegliere anche un insieme più piccolo di questo e la funzione sarà sempre iniettiva. <img src=”./figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/funzioni_iniettiva_parabola.png” /> In altri casi, ha interesse restringere il codominio rispetto alla scelta comune di prendere tutto $R$. Uno scopo può essere quello di rendere la funzione suriettiva. A tal fine bisogna restringere il codominio ai soli punti effettivamente raggiunti dalla funzione di cui è stato precedentemente fissato il dominio. In altre parole, si dovrà imporre che il codominio sia uguale all&#39;immagine, secondo la funzione, del dominio (ricordiamo che l&#39;immagine di un insieme è l&#39;insieme delle immagini degli elementi degli insiemi). Tornando all&#39;esempio della parabola precedente, si vede che i punti del codominio raggiunti sono solo quelli maggiori di $1$ (parabola a concavità verso l&#39;alto con vertice di ordinata $1$). Scegliendo quindi come codominio $$B=[1,\infty[$$ si avrà che la funzione è suriettiva. Anche in questo caso si potrebbe scegliere un insieme più piccolo di quello scelto. In figura ci sono sue possibili scelte del codominio per rendere la funzione suriettiva : quella a sinistra è quella massimale. Quella a destra è invece una restrizione maggiore. Si osservi bene, come si dirà in fondo al paragrafo, che, poichè il codominio deve contenere tutte le immagini del dominio, per usare il codominio a destra occorrerà specificare in modo opportuno il dominio. <img src=”./figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/funzioni_suriettiva_parabola.png” /> Le due scelte di dominio e codominio possono essere effettuate su una stessa funzione in modo che diventi sia iniettiva che suriettiva. In tal caso occorrerà prima restringere il dominio per rendere la funzione iniettiva, poi restringere il codominio per renderla suriettiva. Nel caso visto la scelta del dominio non influenza la scelta del codominio e quindi le operazioni possono essere interscambiabili ma in generale la scelta del codominio dipenderà dalla scelta del dominio fatto (perchè il codominio da scegliere è proprio l&#39;immagine del dominio scelto) e quindi la scelta del codominio dorvà essere fatta rigorosamente dopo quella del dominio. Ecco quindi in figura una procedimento di scelta di dominio e codominio per rendere una funzione sia iniettiva che suriettiva, direttamente a partire dal grafico. In alto a sinistra la funzione viene mostrata con eliminate le regioni di piano corrispondenti al dominio fuori dal campo di esistenza (regioni in rosso). Nelle altre 3 figure ci sono 3 possibili scelte per dominio e codominio per rendere la funzione biiettiva: in giallo le regioni di dominio eliminate per rendere la funzione iniettiva e in verde quelle di codominio per renderla suriettiva. Come detto, le regioni del codominio da eliminare dipendono da quelle del dominio scelte. <img src=”./figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/funzioni_biiettiva.png” /> I concetti esposti saranno forse più chiari nel paragrafo dedicato alle funzioni goniometriche nel quale si applicheranno più volte. Prima di concludere però una breve nota su un possibile errore di interpretazione di quanto detto. Esprimiamoci con un esempio. Data la curva $$y^2=x$$ è chiaro che volendola interpretare come funzione $f:x\mapsto y$ si avrebbe $$y=\pm \sqrt{x}$$ e quindi il campo di esistenza è ridotto al solo elemento $0$ in quanto $x$ negative non sono associate ad alcuna $y$ mentre $x$ positive sono associate a due elementi $y$. Si potrebbe erroneamente pensare che per estendere il dominio della funzione basta restringere il codominio ai soli numeri positivi in modo che le $x$ positive abbiano un solo trasformato $y=\sqrt{x}$. Questo però è assolutamente erroneo: data infatti la legge iniziale $y^2=x$ (o equivalentemente il suo grafico) questa impone, per esempio, che all&#39;elemento $x=4$ sia associato $y=2$ e $y=-2$. Restringere il codominio porterebbe quindi a far sì che l&#39;elemento $x$ sia associato ad un elemento $y$ che non sta nel codominio: in questo caso quindi, non solo non si tratterebbe di una funzione, ma nemmeno di una relazione perchè elementi associati stanno fuori codominio. In effetti quello che posso scegliere in una funzione è il dominio: il codominio deve essere capace di accogliere tutti i trasformati degli elementi del dominio scelti.</p>