6. Funzione inversa

<p>Come visto, rispetto ad una semplice relazione tra insiemi, una funzione possiede una sorta di verso preferenziale, nel senso che garantisce, dato un qualunque elemento del dominio, di trovare esattamente un elemento del codominio associato. La stessa proprietà non è necessariamente vera nel senso opposto a meno di non richiedere la biiettività della funzione. Ebbene, proprio nel caso di funzioni biiettive è possibile, a partire da una funzione $f$, definire la <b>funzione inversa</b> che partendo da un elemento del codominio associa l&#39;elemento del dominio associato da $f$. Tale elemento associato esiste ed è unico, come garantito dalla biiettività della funzione di partenza $f$. La funzione inversa si indica con $f^{-1}$ (si osservi che l&#39;uso dell&#39;esponente $-1$ è diverso da quello normalmente usato per i numeri per i quali $x^{-1}=1/x$). In formule, anzitutto per dominio e codominio, se $$f:A\rightarrow B $$ la funzione inversa avrà $$f^{-1}:B\rightarrow A $$ Se per esempio se $A=\{r,s,t\}$ e $B=\{1,2,3\}$ e $f$ è tale che $$f(r)=1 \ \ f(s)=3 \ \ f(t)=2$$ la funzione inversa sarà $$f^{-1}(1)=r \ \ f^{-1}(2)=t \ \ f^{-1}(3)=s$$ Nel caso di funzioni reali di variabile reale rappresentate, oltre che da dominio e codominio, dall&#39;equazione trovare l&#39;inversa corrisponde ad esplicitare la variabile indipendente ed esprimerla in funzione della dipendente. Se per esempio $$f:R\rightarrow R \ \ \ f(x) = 3x+4$$ allora per trovare la funzione inversa si dovrà esplicitare la $y=f(x)$ in modo da arrivare a $x=f^{-1}(y)$ cioè $x=\frac{1}{3}(y-4)$. Poichè, come noto, nell&#39;equazione di una funzione ciò che conta è il legame tra le variabili e non il loro nome si preferisce di solito continuare ad usare $x$ come variabile indipendente e $y$ come dipendente. La funzione inversa è quindi $$f^{-1}(x)=\frac{1}{3}(x-4)$$. Nel passare da una funzione alla funzione inversa quello che si fa è in pratica scambiare i ruoli di $x$ e $y$. In questo senso, dato il grafico di una funzione, per ottenere il grafico della funzione inversa basterà operare la trasformazione $$x \rightarrow y \ \ \ \ y \rightarrow x$$ovvero una simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. In figura la curva rossa rappresenta la funzione inversa della funzione blu, avendo opportunamente ristretto dominio e codominio per rendere le funzioni anche suriettive (oltre che iniettive). Si osservi che è anche vero che la funzione blu rappresenta l&#39;inversa della rossa perchè l&#39;inversa della funzione inversa è la funzione originaria.</p><div align=”center”><img src=”./figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/funzioni_inversa.jpg” /></div>