7. Funzione composta

<p>Il concetto di funzione composta lega due funzioni tra di loro nel caso in cui il risultato della prima funzione sia l&#39;ingresso della seconda funzione. Possiamo pensare intuitivamente ad una catena di causa effetto per un ingresso iniziale produce a cascata una serie di coseguenze: il bottone di mouse produce un segnale verso il computer; tale segnale produce l&#39;esecuzione di un comando; l&#39;esecuzione di un comando produce l&#39;apertura di una finestra; l&#39;apertura di una finestra produce lo scaricamento dei dati dal web… Dati gli insiemi $A$, $B$, $C$ e $D$ siano date $f:A\rightarrow B$ e $g:C\rightarrow D$. Se accade che l&#39;immagine $f(A)$ della funzione $f$ è contenuta nel dominio $C$ di $g$ allora è possibile valutare $g$ nei trasformati della funzione $f$ e costruire quindi la funzione composta $$g\circ f:A\rightarrow D\ \ \ \ \ \ y=g(f(x))$$ che ad ogni elemento $x\in A$ associa un elemento $y \in D$ ottenuto trasformando prima secondo la legge di $f$ e poi secondo quella di $g$. Per esempio dati $A=\{a,b\}$, $B=\{1,2,3\}$, $C=\{2,3,4\}$ e $D=\{u,v,w\}$, $f$ definita da $f(a)=2$ e $f(b)=3$ e $g$ definita da $g(2)=u$, $g(3)=w$ e $g(4)=u$ è possibile costruire la funzione composta $g\circ g$ in quanto l&#39;mmagine di $f$ è $f(A)=\{2,3\}$ è un sottoinsieme del dominio $C$ di $g$. Si ha che la funzione composta è definita da $g(f(a))=u$ e $g(f(B))=w$. In figura il diagramma di Venn chiarisce quanto detto</p><div align=”center”><img src=”./figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/funzioni_composta_venn.png” /></div><p>Per quanto riguarda la composizione di funzioni reali di variabile reale è sufficiente sostituire la forma fuzionale della variabile dipendente della funzione più interna come variabile indipendente della fuzione esterna. Vediamo un esempio: date le funzioni $$f:R\rightarrow R \ \ \ \ f(x) =x^2+1$$ $$g:[1,\infty[\rightarrow R\ \ \ \ g(x) = \sqrt{x-1}$$ occorre anzitutto verificare che $f(R)\subseteq [1,\infty[$. In effetti $f(R)=[1,\infty [$ e quindi la condizione è verificata. A questo punto è possibile costruire la funzione composta come $$g\circ f:R\rightarrow R \ \ \ \ g(f(x))=\sqrt{x^2+1-1}=\sqrt{x^2}$$ E&#39; possibile effettuare una costruzione grafica, anche se un pochino macchinosa, della funzione composta a partire dai grafici delle funzioni date. Il principio che si sfrutta è che il trasformato della funzione interna deve ridiventare variabile indipendente ed essere successivamente ritrasformato secondo la nuova funzione. In quest&#39;ottica riassumiamo la costruzione della curva della funzione composta in 3 fasi</p><ul><li>dato un generico elemento del dominio della funzione interna si comincia col trasformarlo raggiungendo la curva della prima funzione.</li><li>Poi si procede parallelamente all&#39;asse $x$ fino a raggiungere la bisettrice del $I$ e $III$ quadrante (in questo modo la $y$ ridiventa $x$ pronta per essere trasformata).</li><li>Dal punto trovato si riprocede parallelamente all&#39;asse $y$ fino a raggiungere la curva della funzione esterna.</li></ul><p>Il punto con ascissa pari alla $x$ di partenza e ordinata pari alla $y$ dell&#39;ultimo punto trovato è un punto della funzione composta. In figura la costruzione di una funzione composta per punti. $y=h(x)$ e&#39; la funzione composta $y=g(f(x))$ mentre $y=x$ è la bisettrice detta.</p><div align=”center”><img src=”./figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/funzioni_composta.png” /></div>