8. Parità, monotonia e periodicità di funzioni

<p>Le funzioni numeriche, in particolare quelle reali di variabile reale, possono essere analizzate dal punto di vista di loro peculiari proprietà. Ne esaminiamo ora soltanto 3 tra le più importanti: parità, monotonia e periodicità. Una funzione $f:A\rightarrow B \ \ \ \ A,B\subseteq R$ è <b>pari</b> se $$\forall x\in A \ \ \ \ \ f(x)=f(-x)$$ ovvero se il trasformato dell&#39;opposto di un valore è uguale al trasformato del valore stesso. Dal punto di vista del grafico, si tratta di una funzione che resta uguale quando viene operata una simmetria rispetto all&#39;asse delle $y$, quindi di una funzione rappresentata da una curva simmetrica rispetto all&#39;asse y. Una funzione di dice <b>dispari</b> quando $$\forall x\in A \ \ \ \ \ f(x)=-f(-x)$$: si tratta quindi di una funzione rappresentata da una curva simmetrica rispetto all&#39;origine degli assi cartesiani. E&#39; molto semplice verificare le proprietà di parità di una funzione data la sua equazione. Per esempio $$f(x)=x^3-4x+sen(x)$$ è dispari perchè $$f(-x) = (-x)^3-4(-x)+sen(-x)=-x^3+4x+sen(x)=-f(x)$$. Invece $$f(x) = cos(x)+x^4$$ è pari perchè $$f(-x)=f(x)$$. Osservare la parità di una funzione è di grande aiuto per semplificarne lo studio: permette infatti di limitarne l&#39;analisi ad una sua metà, in quanto si sfruttano poi le proprietà di simmetria trovate. Una funzione si dice <b>monotòna</b> (si noti l&#39;accento) crescente o semplicemente crescente se all&#39;aumentare di $x$ il valore dell&#39;immagine corrispondente $y=f(x)$ aumenta o resta uguale. Si dice strettamente crescente se il valore dell&#39;immagine aumenta. Si dice decrescente se all&#39;aumentare di $x$ il valore dell&#39;immagine diminuisce o resta uguale. Si dice infine strettamente decrescente se il valore dell&#39;immagine diminuisce. In simboli indicando come al solito con $A$ il suo dominio e $x_1,x_2\in A$ allora $$ \text{f crescente – }\forall x_2>x_1 \Rightarrow f(x_2)\ge f(x_1)$$$$ \text{f strettamente crescente – }\forall x_2 >x_1 \Rightarrow f(x_2)>f(x_1)$$$$ \text{f decrescente – }\forall x_2>x_1 \Rightarrow f(x_2)\le f(x_1)$$$$ \text{f strettamente decrescente – }\forall x_2>x_1 \Rightarrow f(x_2)< f(x_1)$$ Dal punto di vista grafico una funzione che si riesce a tracciare senza staccare la penna dal foglio è crescente se localmente approssimabile con una retta a pendenza positiva o, in termini più intuitivi se si incontra come una salita immaginando di percorrere l&#39;asse delle $x$ secondo il verso dell&#39;asse stesso. Di conseguenza evidenziare una funzione crescente (o di altra monotonia) a partire dal grafico è un&#39;operazione piuttosto semplice. Data invece l&#39;equazione di una funzione può non essere semplice riscontrare la monotonia di una funzione o dimostrare che non esiste nessuna. Inoltre, la monotonia di una funzione dipende dal dominio scelto. Per esempio data la funzione (parabola) $f(x) = 3x^2+4$ nel dominio $[0,\infty[$ è chiaro che se si prende $x_2&gt;x_1$ si avrà che anche $x_2^2>x_1^2$ e quindi anche $f(x_2)>f(x_1)$. Se però come dominio si prende tutto $R$ allora non è più vero che $x_2>x_1$ implica $x_2^2>x_1^2$. Se infatti si prende ad esempio $x_1=-3$ e $x_2=-2$ si ha che $x_2^2=4<9=x_1^2$. Tuttavia la funzione non è nemmeno descrescente perchè prendendo, come visto, $x_1$ e $x_2$ entrambi positivi ho che è verificata la condizione di crescenza. Concludendo si tratta di una funzione che manifesta un tratto di decrescenza e un tratto di crescenza: nel complesso non è quindi una funzione monotona. In figura una funzione crescente (ha un tratto in cui è costante), una strettamente decrescente e una funzione con un tratto decrescente e un tratto crescente. <img src=”./figure_mie/FIGURE_MATEFISICA/funzioni_monotone.png” width=”100%” /> Un&#39;importante conseguenza della stretta monotonia di una funzione è l&#39;iniettività. Se infatti elementi diversi del dominio hanno immagini che seguono la legge della stretta crescenza (o decrescenza) è chiaro che non potranno avere immagini uguali, e quindi la funzione sarà iniettiva. Non è invece vera l&#39;implicazione inversa, ovvero possono esistere funzioni iniettive che non sono nè strettamente crescenti nè decrescenti: si pensi ad esempio a $f(x)=\frac{1}{x}$ che è iniettiva nel suo campo di esistenza ma che non è monotona: infatti decresce se si prendono $x_1$ e $x_2$ entrambi positivi o entrambi negativi, ma cresce prendendo $x_1$ negativo e $x_2$ positivo. Una funzione si dice <b>periodica</b> se esiste un numero $P$ tale che per $\forall x\in A$ allora $$f(x+P)=f(x)$$ L&#39;esempio più semplice è $$f(x)=sen(x)$$ per la quale $P=2 \pi $ $$f(x+2\pi)=f(x)$$ Se invece si prende $$f(x)=sen(4x)$$ per trovare il periodo si prova un $P$ generico $$f(x+P)=f(x)\ \ \ \ \ \ \ \ sen(4(x+P))=sen(4x)$$ da cui svolgendo $$sen(4x+4P)=sen(4x)$$ e quindi $$4P=2\pi \ \ \ \ \ \ P=\pi /2$$ In termini intuitivi una funzione è periodica se rimane uguale a se stessa se traslata orizzontalmente di una quantità $P$ o di un suo multiplo: infatti se si trasla una volta di $P$ si ottiene una funzione uguale all&#39;originaria e si trasla ancora di $P$ la funzione resterà sempre uguale a se stessa. E&#39; chiaro che poichè $x$ e $x+P$ hanno la stessa immagine la periodicità di una funzione implica la sua non iniettività. L&#39;importanza dello studio delle funzioni periodiche è enorme in svariate discipline: nei casi reali non si avrà mai a che fare con funzioni periodiche nel pieno senso del termine ma di funzioni che in più o meno ampi intervalli del dominio manifestano un comportamento (con una certa approssimazione) periodico: è il caso delle onde, degli andamenti astronomici, di fenomeni oscillatori,…</p>