Cifre decimali e significative: legame con gli errori assoluto e relativo

Esiste un modo più compatto per indicare gli errori di una misura in un numero evitando lindicazione esplicita dellerrore di misura tramite il simbolo del \(\pm\). Quello che si fa è scrivere una misura, ad es. $$ 4,68~cm$$ e dare uninterpretazione convenzionale della quantità di cifre scritte. Cosa significa in pratica? Assumere che le cifre date siano corrette mentre le cifre successive siano incerte. Per esempio, nel numero dato siamo sicuri delle 3 cifre date ma non sappiamo nulla delle successive quindi per esempio il numero vero potrebbe essere 4,682 oppure 4,6834 oppure 4,6819, etc. Il numero vero potrebbe anche essere minore di quello scritto purchè, una volta approssimato, conduca al numero scritto, quindi per esempio il numero può essere 4,678 oppure 4,6792 etc. Conludendo quando scrivo il numero in quel modo sto intendendo $$ 4,68~\textrm{cm} \pm 0,005~cm$$ Lerrore associato è quindi 0,005~cm. Poichè però di solito di considera solo lordine di grandezza dellerrore è più comodo approssimare anche lerrore e dire che si tratta di un errore pari a 0,01~cm. Analogamente, se troviamo scritta una misura come 0,0782~s intendiamo quindi che lerrore assoluto di misura sia 0,0001~s. In generale $$E_{A} = 10^{- (NUMERO-DI-CIFRE-DECIMALI)}$$ è (circa) lerrore assoluto cercato. A questo punto possiamo calcolare se utili gli errori relativo e relativo percentuale. Un modo più rapido (di cui non diamo qui le spiegazioni) per capire lerrore relativo di una misura è di contare le sue cifre significative, che sono le cifre della mantissa. Quindi per esempio $$0,0782 = 7,82 \cdot 10^{-2}$$ ha 3 cifre significative. A questo punto la potenza $$E_R = 10^{- (NUMERO-DI-CIFRE-SIGNIFICATIVE)}$$ è (circa) lerrore relativo cercato. $$E_R = 10^{-3}$$ Logicamente lerrore relativo così calcolato non corrisponde perfettamente a quella calcolato nellaltro modo ma solo in modo approssimato. In ogni caso lindicazione dellerrore tramite cifre decimali e significative è più imprecisa rispetto a quella esplicita: infatti posso raprresentare solo gli ordini di grandezza degli errori ma non sono libero di specificare dei campi di variabilità con numeri arbitrari. In altre parole anche per gli errori quindi considero soltanto in questo caso degli ordini di grandezza e non dei valori veri e propri. Non devono stupire in fisica tutta questa presenza di approssimazione, incertezza, imprecisione,… Non si vuole con questo dire che la fisica studi cose di cui non si capisce nè si può dire nulla. Anzi proprio sapere gestire le mie imperfezioni mi permette di saper utilizzare i dati e le leggi fisiche nel modo ottimale e raggiungere anche quei progressi tecnologici che fino a pochi decenni fa sembravano impensabili (cellulari, missioni spaziali, …).