Misure indirette e propagazione degli errori

Discutendo la clessidra abbiamo detto come comunemente gli strumenti di misura usino, per misurare una certa grandezza, la misura di unaltra grandezza. In questo caso di parla di misura indiretta. Per darne una definizione più completa, si dice misura indiretta una misura in cui la grandezza da misurare si ottiene calcolando unespressione aritmetica su altre grandezze misurate. Lesempio più semplice è nel calcolo di un area di un rettangolo. Per effettuare questa misura è possibile contare il numero di unità di misura di area (per esempio, il quadrato di lato \(1~m\)) che entrano nel rettangolo da misurare. E molto più conveniente però effettuare una misura indiretta ovvero misurare base e altezza del rettangolo e poi calcolare larea come prodotto tra base e altezza misurate. Nellambito delle misure indirette, assume importanza valutare come lerrore nella grandezza direttamente misurata si ripercuota nellerrore finale della grandezza misurata indirettamente. Iniziamo con la misura del semiperimetro \(p\) di un rettangolo a partire dalle misure dei due lati \(L_1\) e \(L_2\). $$ p = L_1 + L_2 $$ Se per esempio $$ L_1 \, = \, 6~m \pm 2~cm ; L_2 \, = \, 8~m \pm 4~cm $$ è chiaro che \(p \, = \, 14~m\) ma con quale incertezza? Per capirlo è sufficiente valutare il minimo e massimo valore che \(p\) può assumere. Il valore minimo si ottiene quando \(L_1\) e \(L_2\) assumono i valori minimi ed è quindi $$ p_{MIN} = L_{1,MIN} + L_{2,MIN} = 5,98~m+7,96~m = 13,94~m $$ Il valore massimo per \(p\) si ottiene invece in corrispondenza ai valori massimi per gli addendi $$ p_{MAX} = L_{1,MAX} + L_{2,MAX} = 6,02~m + 8,04~m = 14,06~m $$ In conclusione il valore \(p\) è compreso tra \(13,94~m\) e \(14,06~m\) e quindi lerrore valore \(E=0,06~m\). Risulta evidente che lerrore sul risultato è la somma degli errori sugli addendi $$ E_{p} = E_{L_1} + E_{L_2} = 2~cm+4~cm = 6~cm $$ Concludendo $$ p = 14~m \pm 6~cm $$ Passiamo ora al caso di misura indiretta che coinvolga una sottrazione. $$ d \, = \, L_2-L_1 $$ E chiaro che il risultato sarà \(2~m\). Passiamo quindi a calcolare lincertezza. Il valore minimo per \(a\) in questo caso corrisponderà al caso in cui \(L_2\) assume il valore minimo mentre \(L_1\) assume il valore massimo. Quindi $$ d_{MIN} = L_{2,MIN}-L_{1,MAX} = 1,94~m $$ Il valore massimo sarà invece in corrispondenza al valore massimo per \(L_2\) e al valore minimo per \(L_{1,MIN}\). $$ d_{MAX} = L_{2,MAX}-L_{1,MIN} = 2,06~m $$ Si vede quindi che lerrore assoluto nel risultato vale \(0,06~m\). Quello che è vero in generale è che lerrore assoluto si trova come la somma degli errori assoluti dei valori che compongono la differenza. $$ E_{d} = E_{L_1} + E_{L_2} = 2~cm+4~cm = 6~cm $$ Concludendo $$ d = 2~m \pm 6~cm $$ Passiamo ora al caso della misura indiretta che coinvolge prodotti. Possiamo per esempio pensare al caso del calcolo dellarea del rettangolo di lati \(L_1\) e \(L_2\) $$ A \, = \, L_1\cdot L_2 $$ Per stimare lincertezza si possono svolgere i calcoli tenendo in considerazione gli errori $$ A \, = \, ( 6~m \pm 2~cm )\cdot (8~m \pm 4~cm) = 48~m^2 \pm 6~m \cdot 4~cm \pm 8~m \cdot 2~cm \pm 2~cm \cdot 4~cm $$ Osserviamo che dei quattro addendi dellultima espressione dopo luguale: – il primo termine è la misura vera e propria senza coinvolgere le incertezze – il secondo e terzo termine sono il prodotto tra lerrore su un fattore e la misura dellaltro fattore – il quarto termine è costituito dal prodotto tra i due errori. Rispetto ai termini precedenti, e soprattuto rispetto al primo termine, ci si aspetta generalmente che questo termine sia piccolo (in quanto già i singoli errori dovrebbero essere relativamente piccoli e quindi tanto più il prodotto tra gli errori lo sarà). Si usa quindi trascurare questo termine. In conclusione il risultato sarà $$ A \, = \, 48~m^2 \pm 6~m \cdot 4~cm \pm 8~m \cdot 2~cm \, = \, 48~m^2 \pm 40~cm^2 $$Si noti come lerrore sul risultato è molto maggiore dei singoli errori sui fattori In generale quando si moltiplicano due grandezze $$ x = m_x \pm e_x \, \, ; \, \, y = m_y \pm e_y $$ il prodotto sarà $$ x \cdot y = m_x \cdot m_y \pm (e_x \cdot m_y + e_y \cdot m_x) $$ Qualcosa di analogo accade quando si moltiplicano tre grandezze: in tal caso lincertezza del risultato è la somma di termini costituiti da prodotti di 3 fattori in cui due termini sono due misure e il terzo termine è lerrore della terza grandezza. Ovvero: $$ x \cdot y \cdot z = m_x \cdot m_y \cdot m_z \pm (e_x \cdot m_y \cdot m_z + e_y \cdot m_x \cdot m_z + e_z \cdot m_x \cdot m_y) $$ Esiste un altro modo di interpretare quanto trovato che coinvolge gli errori relativi. Tralasciando di motivare dettagliatamente ciò, si può far vedere che lerrore relativo sul prodotto tra due o più grandezze eguaglia la somma degli errori dei fattori. In effetti il risultato del prodotto tra due grandezze può essere scritto come $$ x \cdot y = m_x \cdot m_y \pm m_x \cdot m_y \cdot (e_{R,x} + e_{R,y}) $$ Le regole viste per la valutazione dellerrore nei casi analizzati si riassumono in – somma \(\rightarrow\) sommare gli errori assoluti degli addendi – differenza \(\rightarrow\) sommare gli errori assoluti addendi – prodotto \(\rightarrow \) sommare gli errori relativi dei fattori E possibile inoltre tradurre queste regole nel caso in cui gli errori siano indicati tramite le cifre significative. La traduzione è semplice – somma \(\rightarrow\) il risultato deve avere una quantità di cifre decimali pari al minor numero di cifre decimali degli addendi – differenza \(\rightarrow\) il risultato deve avere una quantità di cifre decimali pari al minor numero di cifre decimali degli addendi – prodotto \(\rightarrow \) il risultato deve avere una quantità di cifre significative pari al minor numero di cifre significative dei fattori Così ad esempio \( 1,536+0,3 = 1,8 \) \( 5,76-0,000032 = 5,76 \) \( 205 \cdot 0,01 = 2 \) Quanto visto in questo paragrafo prende il nome in generale di propagazione degli errori. In effetti abbiamo discusso come gli errori propaghino allinterno dellespressioni aritmetiche. La questione, come visto, è molto importante perchè ci permette di interpretare correttamente il significato delle misure e delle operazioni che le coinvolgono. Disinteressarsi di questo significa incorrere in conclusioni anche completamente errate. Abbiamo tralasciato in effetti la propagazione degli errori relativa a molte altre operazioni come la divisione, la potenza, etc. anche se formule analoghe sono semplici da ricavare alla luce di quanto detto.